Γεννήθηκε στις 4 Ιανουαρίου του 1948 στην Αγυιά της Πάτρας. Είχε άλλα επτά αδέλφια, τρία αγόρια και τέσσερα κορίτσια, και ήταν από πολύ φτωχή οικογένεια. Το 1962 τον εντοπίζει σε κάποια αλάνα ο Σπύρος Βουλγαράκης και τον πηγαίνει στον Πανιώνιο Πατρών στην Γ΄ Κατηγορία της Ε.Π.Σ. Πατρών. Ο Πανιώνιος τότε ήταν θυγατρική της Παναχαϊκής και προπονείτο και αγωνιζόταν στο γήπεδο της. Το 1964 στα 16 του χρόνια πηγαίνει στην Παναχαΐκή, όπου και αγωνίστηκε αδιαλείπτως για μια δεκαετία, μέχρι και το 1974. Στους κοκκινόμαυρους γνωρίζει τεράστιες επιτυχίες, όντας μέλος της μεγάλης ομάδας που συμμετείχε στο Κύπελλο ΟΥΕΦΑ της χρονιάς 1973-74. Τότε παίρνει μεταγραφή για τον Ολυμπιακό Πειραιώς, μια μεταγραφή βόμβα αντί του αστρονομικού για την εποχή ποσού των 9.250.000 δρχ. Με το σύλλογο του Πειραιά κατακτά το νταμπλ το 1975. Το 1977 επιστρέφει στην αγαπημένη του Παναχαϊκή στην οποία αγωνίστηκε ως το 1981, ενώ επίσης την ίδια χρονιά αγωνίζεται στην Κόρινθο για ένα εξάμηνο. Την επόμενη χρονιά αγωνίζεται στην Β’ Εθνική με τον Παναιγιάλειο για μια σεζόν. Το 1982 επιστρέφει πάλι στην Παναχαϊκή εως το 1985. Την επομένη χρονία θα αγωνιστεί με τον Α.Ο. Πάτραι και την περίοδο 1986-87 θα κλείσει την καριέρα του αγωνιζόμενος και πάλι στον Παναιγιάλειο.
Ο Κώστας Δαβουρλής είχε συμμετοχές με τις Εθνικές Νέων, Ελπίδων, Ενόπλων και 11 με την Εθνική Αντρών, τις 4 ως παίκτης της Παναχαϊκής. Ο Δαβουρλής υπήρξε ο πρώτος παίκτης Β΄ Εθνικής που αγωνίστηκε στην Εθνική Αντρών, χωρίς μάλιστα προηγουμένως να έχει συμμετέχει στην Α’ Εθνική ούτε μια φορά. Με την Παναχαϊκή έχει 243 συμμετοχές στην Α΄ Εθνική και 72 γκολ, πρώτος παίκτης του συλλόγου σε συμμετοχές και γκολ όλων των εποχών μέχρι σήμερα. Συνέχισε να προσφέρει τις υπηρεσίες του σε διάφορα πόστα εντός της ομάδας. Πέθανε στις 23 Μαΐου 1992 από ανακοπή καρδιάς. Σήμερα στην γειτονιά του την Αγυιά έχει ιδρυθεί ποδοσφαιρική ομάδα με την ονομασία Α.Ο. Κώστας Δαβουρλής ΄92 και η Παναχαϊκή έχει δώσει το όνομα του στο γήπεδο της.
